EJERCICIOS DE ONDAS DE LA PAU DE LA UNIVERSIDAD DE LA RIOJA

1. PROBLEMAS
2. Junio 2002
1. Una onda sinusoidal avanza con una velocidad de 32 m/s. La amplitud de la onda es de 2,3 cm y la frecuencia de 60 Hz. Suponiendo que en el origen y en el instante inicial la elongación fuese máxima, se pregunta:

   a) La longitud de onda del movimiento.
   b) La ecuación del movimiento.
   c) La elongación, la velocidad y la aceleración de un punto que dista del origen 51,2 cm para t = 2,6 s.

   a) En una onda la velocidad de propagación, la longitud de onda y la frecuencia están relacionadas de la siguiente manera:

   

   b) La ecuación de una onda sinusoidal es del tipo:

   

   Suponemos que la onda se desplaza hacia la derecha.

   Utilizamos las condiciones iniciales para hallar la fase inicial:

   

   Conocemos la amplitud (2,3 cm) y con la frecuencia y la longitud de onda hallamos la pulsación y la k:

   

   c) Para hallar la elongación de un punto dado en un instante definido, tenemos que introducir estos datos en la ecuación de la onda:

   

   Para hallar la velocidad, primero hallamos la ecuación derivando la ecuación de la elongación:

   

   La aceleración es la derivada segunda de la elongación:

   
   Solución
2. Septiembre 2002
2. La velocidad de propagación de una onda es de 330 m/s, y su frecuencia es de 1000 Hz. Calcúlese:

   a) La diferencia de fase para dos posiciones de una misma partícula que se presentan en intervalos de tiempos separados 5·10^-4 s.
   b) La diferencia de fase en un determinado instante entre dos partículas que distan entre si 2,75 cm.
   c) La distancia que existe entre dos partículas que se encuentran desfasadas 120º.

   La ecuación de un movimiento ondulatorio es:

   

   La diferencia de fase se puede calcular entre dos puntos en un instante dado, o para un mismo punto, entre dos tiempos.

   a) La diferencia de fase para dos posiciones de una misma partícula separadas por un intervalo de tiempo será:

   

   b) Dos puntos sometidos a la misma vibración en un instante dado, estarán separados una distancia . Cada partícula, en un instante dado, su estado de vibración podemos darlo en función de la fase de vibración, como:

   

   Como la diferencia de fase es un ángulo y siempre se da como positivo, podemos cambiar la expresión obtenida por:

   

   c) Para calcular la distancia entre dos puntos con una diferencia de fase de 120º utilizamos la expresión obtenida en el apartado anterior:

   
   Solución
3. Junio 2003
3. Al esperar que pase una onda transversal, una persona nota que pasan 12 crestas en un tiempo de 3 s. Si la distancia entre 2 crestas sucesivas es de 0,8 m y la amplitud es de 0,5 m.

   a) Escribe la ecuación de esa onda.
   b) ¿Cuál es la velocidad de la onda?

   ?

   Solución
4. La ecuación de una onda armónica que se mueve sobre una cuerda donde x está en metros y t en segundos es: y( x,t ) = 0,03·sen( 2,2x - 3,5t )

   a) ¿En qué dirección se propaga esta onda y cuál es su velocidad?
   b) Determinar la longitud de onda, la frecuencia y el periodo de dicha onda.
   c) ¿Cuál es el desplazamiento máximo de cualquier segmento de la cuerda?
   d) ¿Cuál es la velocidad máxima de cualquier segmento de la cuerda?

   ?

   Solución
5. Junio 2004
5. Una onda estacionaria en una cuerda está representada por la siguiente función de onda: y( x,t ) = 0,02·sen( 4 ¶ x )·cos( 60 ¶ t ) , donde x e y están expresados en metros y t en segundos. Determinar el máximo desplazamiento y la máxima velocidad de un punto de la cuerda situado en:

   a) x = 1,10 m
   b) x = 0,25 m
   c) x = 0,50 m

   Las ondas estacionarias tienen la ecuación de la siguiente forma:

   

   El máximo desplazamiento será A_r.

   La velocidad en cualquier punto de la cuerda, es la derivada primera de la elongación:

   

   a) x=1,10 m

   

   b) x=0,25 m

   

   Por tanto, este punto es un nodo.

   c) x= 0,50 m

   

   Este punto también es un nodo

   Solución
6. Septiembre 2005
6. Una onda estacionaria sobre una cuerda tiene por ecuación: y = 0,02 cos( ^¶ / ₂ )x ·cos ( 40 ¶ t ), donde x e y se miden en metros y t en segundos.

   a) Escribir funciones de onda para dos trenes de onda que al superponerse producirán la onda estacionaria anterior.
   b) Calcular la distancia que existe entre dos nodos consecutivos.
   c) Determinar la velocidad de un segmento de la cuerda situado en el punto x = 1 en cualquier instante.

   Una onda estacionaria se produce al interferir dos ondas armónicas de igual amplitud y frecuencia que se propagan en la misma dirección y sentidos contrarios.

   a) Los dos trenes de onda tendrán la misma ecuación, pero con diferente signo en el termino de la x, al tener distinto sentido:

   

   b) La distancia entre dos nodos, puntos donde la amplitud es nula, es media longitud de onda:

   

   c) La velocidad de vibración es la derivada primera de la elongación:

   

   Es decir, el punto situado en x= 1m es un nodo, puesto que su velocidad es cero para cualquier instante.

   Solución
7. CUESTIONES
8. Junio 2002
7. Si las ondas sonoras se propagan en el aire con una velocidad de 340 m/s y el oído humano capta las frecuencias comprendidas entre 20 y 20000 Hz, ¿cuál es el intervalo de longitudes de onda para estos sonidos?

   ?

   Solución
8. Septiembre 2002
8. Por una cuerda tensa se transmiten simultáneamente dos ondas transversales cuyas ecuaciones utilizando el Sistema Internacional son:

   y₁ = 0,10 sen( 15 x - 300 t )
   y₂ = 0,10 sen( 15 x + 300 t )
   

   Calcula la distancia entre dos nodos consecutivos.

   ?

   Solución
9. Junio 2003
9. La frecuencia de una oscilación armónica simple se duplica de 0,25 Hz a 0,50 Hz. ¿Cuál es el cambio en el periodo de oscilación?

   ?

   Solución
10. Septiembre 2003
10. La velocidad de propagación de una onda es de 330 m/s y su frecuencia es de 1000 Hz. Calcular la distancia entre dos partículas que se encuentran desfasadas 120º.

    La ecuación de un movimiento ondulatorio es:

    

    Dos puntos sometidos a la misma vibración en un instante dado, estarán separados una distancia . Cada partícula, en un instante dado, su estado de vibración podemos darlo en función de la fase de vibración, como:

    

    Para calcular la distancia entre dos partículas en un instante dado partimos de la diferencia de fase entre estas. Las partículas están sometidas a la misma vibración, pero en puntos, x, diferentes, que es lo que marca la diferencia de fase entre ellas.

    Como la diferencia de fase es un ángulo y siempre se da como positivo, podemos cambiar la expresión obtenida por:

    
    Solución
11. Describe brevemente la difracción.

    ?

    Solución
12. Septiembre 2004
12. Se tienen dos ondas armónicas en cuerdas diferentes que tienen la misma densidad y tensión. Las ondas tienen la misma frecuencia, pero la onda 1 tiene la amplitud doble que la onda 2. ¿Cuál de las ondas tiene mayor velocidad? ¿Cuál de las dos ondas provoca mayor velocidad en los elementos que desplaza?

    ?

    Solución
13. Junio 2005
13. Una partícula de masa m empieza su movimiento a partir del reposo en x = 25 cm y oscila alrededor de su posición en equilibrio en x = 0 con un período de 1,5 s. Escribir las ecuaciones que nos proporcionan: x en función de t, la velocidad en función de t y la aceleración en función de t.

    ?

    Solución